Se √13 = a, a fração \({ \large \sqrt{14-2.\sqrt{13}} \over \sqrt{ 14+ 2 . \sqrt{13}}}\) é igual a:

Gabarito

A

Comentário do professor

Calcule a expressão \( \dfrac{\sqrt{14-2\sqrt{13}}}{\sqrt{14+2\sqrt{13}}}\). Observe que \(2\sqrt{13}=\sqrt{52}\), ficando radicais da forma típica de radical duplo.

Use a identidade \( \sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\dfrac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\dfrac{A-C}{2}}\), com \(C=\sqrt{A^2-B}\).

Aqui \(A=14\), \(B=52\) e \(C=\sqrt{14^2-52}=\sqrt{144}=12\).

Então \( \sqrt{14-\sqrt{52}}=\sqrt{\dfrac{14+12}{2}}-\sqrt{\dfrac{14-12}{2}}=\sqrt{13}-1\) e \( \sqrt{14+\sqrt{52}}=\sqrt{13}+1\).

A fração vira \( \dfrac{\sqrt{13}-1}{\sqrt{13}+1}\). Racionalizando: \( \dfrac{(\sqrt{13}-1)^2}{13-1}=\dfrac{14-2\sqrt{13}}{12}=\dfrac{7-\sqrt{13}}{6}\).

Como \(\sqrt{13}=a\), obtém‑se \(\dfrac{7-a}{6}\), que é a resposta.