Seja a um número natural diferente de zero. Entre \(a^2\) e \((a+1)^2\) existem exatamente N números naturais que não têm raiz quadrada exata. O número N é igual a:

Gabarito

A

Comentário do professor

Queremos contar os naturais que estão estritamente entre \(a^2\) e \((a+1)^2\). Os extremos \(a^2\) e \((a+1)^2\) são quadrados perfeitos, portanto não entram na contagem.

Calcule a diferença entre os quadrados: \((a+1)^2 - a^2 = 2a + 1\).

Esse valor conta todos os inteiros de \(a^2\) até \((a+1)^2\), inclusive. Para obter apenas os números estritamente entre eles, subtrai-se 1 (removendo um dos extremos): \((2a+1) - 1 = 2a\).

Assim, a quantidade procurada é N = 2a. Por exemplo, para \(a=1\) temos os números 2 e 3 (dois números); para \(a=2\) temos 5,6,7,8 (quatro números), confirmando \(N=2a\).