O resultado da expressão \((1 + \sqrt3)^4 + (1 - \sqrt3)^4\) é igual a um número natural N. Esse número N é um múltiplo de:

Gabarito

B

Comentário do professor

Começamos calculando \( (1+\sqrt3)^4+(1-\sqrt3)^4 \). Observe que \( (1\pm\sqrt3)^4 = [(1\pm\sqrt3)^2]^2 \).

Primeiro, \( (1+\sqrt3)^2 = 1+2\sqrt3+3 = 4+2\sqrt3 \) e \( (1-\sqrt3)^2 = 4-2\sqrt3 \).

Elevando ao quadrado: \( (4+2\sqrt3)^2 = 16+16\sqrt3+12 = 28+16\sqrt3 \) e \( (4-2\sqrt3)^2 = 28-16\sqrt3 \).

Somando as duas expressões, os termos irracionais se anulam: \( (28+16\sqrt3)+(28-16\sqrt3)=56 \). Portanto \(N=56\).

Como \(56\) dividido por \(14\) é \(4\), concluímos que \(N\) é múltiplo de 14.