O valor que se obtém ao subtrair \(\left(\frac{2}{\sqrt{5}-1}\right)\) de \(\left(\frac{2}{2\sqrt{5}+1}\right)\) é:

Gabarito

A

Comentário do professor

Para calcular \( \frac{2}{2\sqrt{5}+1} - \frac{2}{\sqrt{5}-1} \) começamos por racionalizar os denominadores.

Racionalizando \( \frac{2}{\sqrt{5}-1} \): \( \frac{2}{\sqrt{5}-1}\times\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}=\frac{2(\sqrt{5}+1)}{5-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}. \)

Racionalizando \( \frac{2}{2\sqrt{5}+1} \): \( \frac{2}{2\sqrt{5}+1}\times\frac{2\sqrt{5}-1}{2\sqrt{5}-1}=\frac{2(2\sqrt{5}-1)}{(2\sqrt{5})^2-1^2}=\frac{4\sqrt{5}-2}{19}. \)

Usando o MMC 38, escrevemos: \( \frac{8\sqrt{5}-4}{38}-\frac{19\sqrt{5}+19}{38} \). Ao subtrair os numeradores, lembrando que o sinal muda para ambos os termos dentro do parêntese, obtemos \(8\sqrt{5}-4-19\sqrt{5}-19=-11\sqrt{5}-23\).

Portanto o resultado é \( \frac{-11\sqrt{5}-23}{38} \).