Considere a fração a seguir: \(\frac{2(1+\sqrt{5})}{\sqrt{10}-1-\sqrt{5}+\sqrt{2}}\) Racionalizando o denominador dessa fração, obtém-se:

Gabarito

D

Comentário do professor

Agrupe o denominador como \( (\sqrt{10}+\sqrt{2})-(1+\sqrt{5})\). Observe que \(\sqrt{10}+\sqrt{2}=\sqrt{2}(\sqrt{5}+1)\), então há um fator comum \(1+\sqrt{5}\): \( \sqrt{10}-1-\sqrt{5}+\sqrt{2}=(1+\sqrt{5})(\sqrt{2}-1)\).

Assim a fração vira \(\dfrac{2(1+\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(\sqrt{2}-1)}\). Pelo cancelamento de \(1+\sqrt{5}\) obtemos \(\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}\).

Agora racionalize multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \(\sqrt{2}+1\): \(\dfrac{2}{\sqrt{2}-1}\cdot\dfrac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}=\dfrac{2(\sqrt{2}+1)}{2-1}=2(\sqrt{2}+1)\).

Portanto a expressão racionalizada é \(2(1+\sqrt{2})\), que coincide com a alternativa correta.