A expressão \(\frac {\sqrt {2} +1} {\sqrt {2} -1} + \frac {\sqrt {2} -1} {\sqrt {2} +1}\) é igual a um número real n. O valor de n está compreendido entre os números:

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Faça a substituição \(a=\sqrt{2}+1\) e \(b=\sqrt{2}-1\). A expressão vira \( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \).

Somando as frações: \( \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{a^2+b^2}{ab}\).

Calcule \(ab=(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1\) e \(a^2+b^2=(\sqrt{2}+1)^2+(\sqrt{2}-1)^2\).

Expandindo: \((\sqrt{2}+1)^2=2+2\sqrt{2}+1\) e \((\sqrt{2}-1)^2=2-2\sqrt{2}+1\). Soma dos dois termos é \(6\).

Como \(ab=1\), temos \( \frac{a^2+b^2}{ab}=6\). Portanto \(n=6\), que está entre 1 e 7.