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Questão FC870015

No gráfico a seguir, está representada a função polinomial f, de variável real definida por \(f(x) = x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x - 6\). Note que esse gráfico é tangente ao eixo das abs

Polinômios e Equações Polinomiais. Expansão de Binômios. Triângulo de Pascal

DSEA UERJ · 2026

No gráfico a seguir, está representada a função polinomial f, de variável real definida por \(f(x) = x^4 - 3x^3 - 3x^2 + 11x - 6\). Note que esse gráfico é tangente ao eixo das abscissas no ponto (1,0).

 

Sabe-se que a maior e a menor raiz da equação f(x) = 0 são, respectivamente, p e q.

 

O valor de p − q é:

  1. 5
  2. 3
  3. 1 + \(\sqrt{5}\)
  4. 1 + \(\sqrt{3}\)
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Gabarito

A

Comentário do professor

Como o gráfico é tangente ao eixo das abscissas em \(x=1\), temos \(f(1)=0\) e \(f'(1)=0\); portanto \(x=1\) é uma raiz dupla de \(f\). Assim podemos escrever \(f(x)=(x-1)^2g(x)\) para algum polinômio quadrático \(g(x)\).

Fazendo a divisão ou fatorando diretamente, obtém-se \(f(x)=(x-1)^2(x^2-x-6)\).
O polinômio quadrático fatoriza como \(x^2-x-6=(x+2)(x-3)\).

Logo as raízes de \(f(x)=0\) são \(x=-2,\,x=1\) (dupla) e \(x=3\). A maior raiz é \(p=3\) e a menor é \(q=-2\).

Portanto \(p-q=3-(-2)=\) 5, que é o resultado buscado.

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