Questão FC870027
Durante uma operação de inteligência no âmbito do sistema penitenciário, foi interceptada uma matriz de comunicação codificada entre lideranças de uma organização criminosa. Para d
Álgebra Linear Elementar
Instituto AOCP · 2026
Durante uma operação de inteligência no âmbito do sistema penitenciário, foi interceptada uma matriz de comunicação codificada entre lideranças de uma organização criminosa. Para decifrar a mensagem, o policial penal precisou multiplicar a matriz de código \(A\) pela matriz chave \(B^{-1}\) (inversa de \(B\)). Sabendo que \(A = \begin{bmatrix} 10 & 14 \\ 6 & 10 \end{bmatrix}\) e \(B = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}\), a matriz resultante \(M = A \cdot B^{-1}\), que revela as coordenadas numéricas da operação, é
- \(M = \begin{bmatrix} -4 & 22 \\ -4 & 18 \end{bmatrix}\)
- \(M = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)
- \(M = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}\)
- \(M = \begin{bmatrix} -4 & -6 \\ 16 & 24 \end{bmatrix}\)
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Gabarito
A
Comentário do professor
Queremos obter \(M = A\cdot B^{-1}\) com \(A=\begin{bmatrix}10 & 14 \\ 6 & 10\end{bmatrix}\) e \(B=\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 1 & 1\end{bmatrix}\).
Calcule o determinante de \(B\): \(\det B = 3\cdot1 - 2\cdot1 = 1\). Como o determinante é 1, a divisão pela constante não altera os termos da matriz adjunta.
Para a inversa de uma 2×2 trocamos os elementos da diagonal principal e mudamos o sinal dos da diagonal secundária. Assim
\(B^{-1} = \begin{bmatrix}1 & -2 \\ -1 & 3\end{bmatrix}\).
Agora multiplicamos \(A\) por \(B^{-1}\). Calculando entrada a entrada:
\(m_{11}=10\cdot1+14\cdot(-1)=-4\), \(m_{12}=10\cdot(-2)+14\cdot3=22\).
\(m_{21}=6\cdot1+10\cdot(-1)=-4\), \(m_{22}=6\cdot(-2)+10\cdot3=18\).
Portanto \(M=\begin{bmatrix}-4 & 22 \\ -4 & 18\end{bmatrix}\), confirmando a alternativa correta.
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