Em um ajuste de calibração, três fatores x, y, z (correções) devem satisfazer o sistema: \(\begin {cases} kx \, + \, y \, + \, z \, = \, 1 \\ x \, + \, ky \, + \, z \, = \, 1 \\ x

Gabarito

A

Comentário do professor

O sistema não tem solução única quando a matriz de coeficientes é singular, isto é, quando seu determinante vale zero.

A matriz é \( \begin{pmatrix}k&1&1\\[2pt]1&k&1\\[2pt]1&1&k\end{pmatrix}\). Expandindo o determinante pela primeira linha:

\( \det = k\det\begin{pmatrix}k&1\\[2pt]1&k\end{pmatrix} -1\det\begin{pmatrix}1&1\\[2pt]1&k\end{pmatrix} +1\det\begin{pmatrix}1&k\\[2pt]1&1\end{pmatrix} \)

Calculando: \( \det = k(k^2-1) - (k-1) + (1-k) = k^3-3k+2\).

Para singularidade, \(k^3-3k+2=0\). Fatorando: \(k^3-3k+2=(k-1)^2(k+2)\).

Logo, os valores de k que anulam o determinante são \(k=1\) (multiplicidade 2) e \(k=-2\).

O produto desses valores é \(1\times(-2)=-2\).