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Questão FC870047

Uma pirâmide quadrangular regular ABCDE foi seccionada pelo plano FGHJ, que dista y cm do vértice E e que é paralelo à base ABCD. A seção FGHJ constitui a face de um paralelepípedo

Geometria Espacial

DSEA UERJ · 2026

Uma pirâmide quadrangular regular ABCDE foi seccionada pelo plano FGHJ, que dista y cm do vértice E e que é paralelo à base ABCD. A seção FGHJ constitui a face de um paralelepípedo retângulo cuja base está contida em ABCD, como ilustra a figura.

 

Considere as seguintes informações: 

  • a aresta da base ABCD e a altura da pirâmide ABCDE medem, respectivamente, 8 cm e 12 cm;
  • a área total do paralelepípedo varia de acordo com o valor de y, sendo 0 < y < 12.
 

Para que a área do paralelepípedo seja máxima, o valor de y, em centímetros, deve ser:

  1. 7
  2. 8
  3. 9
  4. 10
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Pela semelhança entre a base ABCD (lado 8) e a seção paralela a ela, tem-se \(l/8 = y/12\), logo \(l=\dfrac{2y}{3}\), onde \(l\) é o lado do quadrado FGHJ e \(y\) a distância de E ao plano.

A área total do paralelepípedo de base quadrada é \(A=2l^2+4l(12-y)\), porque há duas faces quadradas e quatro retangulares de altura \(12-y\).

Substituindo \(l=\dfrac{2y}{3}\): \(A=\dfrac{8y^2}{9}+ \dfrac{8y}{3}(12-y)= -\dfrac{16}{9}y^2+32y\).

Trata-se de uma parábola voltada para baixo. O vértice fornece o máximo: \(y_v=-\dfrac{b}{2a}=-\dfrac{32}{2\left(-\tfrac{16}{9}\right)}=9\).

Portanto, para a área máxima do paralelepípedo, \(y=9\) cm.

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