Para um dado número real k, considere o triângulo do plano cartesiano xy cujos vértices são os pontos A(k,7), B(3,1) e C(9,1). A soma de todos os valores de k para os quais ABC é u

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Calcule as distâncias ao quadrado: \(BC^2=(3-9)^2+(1-1)^2=36\), \(AB^2=(k-3)^2+(7-1)^2=(k-3)^2+36\) e \(AC^2=(k-9)^2+36\).

Se o ângulo reto estivesse em A, teríamos \(AB^2+AC^2=BC^2\), ou \((k-3)^2+(k-9)^2+72=36\), o que leva a soma de dois quadrados igual a \(-36\), impossível. Logo A não é vértice reto.

Se o ângulo reto estiver em B, vale \(AC^2=AB^2+BC^2\). Substituindo: \((k-9)^2+36=(k-3)^2+36+36\). Simplificando obtém-se \(k=3\).

Se o ângulo reto estiver em C, vale \(AB^2=AC^2+BC^2\). Substituindo: \((k-3)^2+36=(k-9)^2+36+36\). Simplificando obtém-se \(k=9\).

Portanto os valores possíveis são k=3 e k=9, cuja soma é 12.