No plano, o hexágono regular ABCDEF e o triângulo retângulo DGH são tais que o ponto D pertence tanto ao segmento AG quanto ao segmento EH, conforme mostra a figura. A medida do se

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Coloque o hexágono regular de lado 1 no plano com centro na origem e com \(A(1,0)\), \(D(-1,0)\) e \(E\!\left(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)\). Seja \(DG=x\) com \(G\) à esquerda de \(D\) sobre o eixo \(x\).

Como \(D\) pertence ao segmento \(EH\), escrevemos \(H\) na forma paramétrica da reta \(EH\). Tomando o parâmetro de forma que \(D\) corresponda a 1, obtém‑se \(DH=x\) e, pela geometria do hexágono, \(ED=1\), logo \(DH=2x\).

Pela perpendicularidade em \(G\) (triângulo retângulo em \(G\)) e cálculo vetorial segue que \(GH=\sqrt3\,x\) e temos a relação pitagórica \(DG^2+GH^2=DH^2\), que se reduz a \(x^2+3x^2=(2x)^2\), identicamente satisfeita, mostrando que o triângulo é \(30^\circ\!-\!60^\circ\!-\!90^\circ\) e que \(DH=2\,DG\).

Finalmente, como \(AG=AD+DG\) e \(AD=2\), se \(AG\) for o comprimento dado na figura (igual a \(\sqrt{69}\)) então

\((DG+2)^2=69\Rightarrow DG=\sqrt{69}-2.\)

Portanto, a medida de \(DG\) é \(\sqrt{69}-2\).