Os vértices de um triângulo são três dos vértices de um dodecágono regular cujo lado mede 3 cm, conforme mostra a figura. A área desse triângulo, em cm², corresponde a:

Gabarito

B

Comentário do professor

No dodecágono regular cada ângulo central entre vértices adjacentes é \(30^\circ\). O lado vale \(s=3\) e relaciona-se ao raio \(R\) por \(s=2R\sin(15^\circ)\). Como \(\sin15^\circ=(\sqrt6-\sqrt2)/4\), obtemos \(R=\dfrac{3}{2\sin15^\circ}=\dfrac{3(\sqrt6+\sqrt2)}{2}\).

Calculando \(R^2\): \(\big(\sqrt6+\sqrt2\big)^2=8+4\sqrt3\), então \(R^2=\dfrac{9}{4}(8+4\sqrt3)=9(2+\sqrt3)=18+9\sqrt3\).

Os três vértices do triângulo correspondem a arcos centrais de \(90^\circ,90^\circ\) e \(180^\circ\). Isso significa que um lado é um diâmetro (\(2R\)) e os outros dois lados são cordas de \(90^\circ\), de comprimento \(2R\sin45^\circ=R\sqrt2\).

O triângulo é retângulo isósceles com catetos iguais a \(R\sqrt2\), então sua área é \(\tfrac{1}{2}(R\sqrt2)^2=R^2\). Substituindo \(R^2\) obtemos \(18+9\sqrt3\), conforme a alternativa correta.