Dada a constante real \(k > 0\), seja \(f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) a função definida por \(f(x) = (21 - 8k)x + 4k^2 - 15\). O gráfico dessa função intersecta o eixo

Gabarito

A

Comentário do professor

Como o gráfico intercepta o eixo x em \(x=\tfrac{2}{3}\), temos \(f\!\left(\tfrac{2}{3}\right)=0\). Substituindo: \((21-8k)\tfrac{2}{3}+4k^2-15=0\), que simplifica para \(4k^2-\tfrac{16}{3}k-1=0\). Multiplicando por 3 obtém-se \(12k^2-16k-3=0\).

Calculando a raiz: \(\Delta=400\) e \(k=\dfrac{16\pm20}{24}\). Como \(k>0\), segue \(\mathbf{k=\tfrac{3}{2}}\).

O intercepto em y é \(f(0)=4k^2-15\). Com \(k=\tfrac{3}{2}\) vem \(f(0)=4\cdot\dfrac{9}{4}-15=9-15=\mathbf{-6}\).

Por fim, \(-\tfrac{15}{2}=-7{,}5<-6< -\tfrac{11}{2}=-5{,}5\), logo \(f(0)=-6\) pertence ao \(\mathbf{]\,-\tfrac{15}{2},-\tfrac{11}{2}\,}\).