Seja R(x) o resto da divisão do polinômio \(P(x) = 3x^5 - 12x^4 + 4x^3 - 31x^2 - x - 20\) pelo polinômio \(D(x) = x^3 - 4x^2 - 6\). O valor de R(2) é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Como \( \deg D=3\), o resto da divisão tem grau menor que 3: \(R(x)=ax^2+bx+c\). Existe \(Q(x)\) tal que \(P(x)=D(x)Q(x)+R(x)\).

Assuma \(Q(x)=Ax^2+Bx+C\) e calcule \(D(x)Q(x)=(x^3-4x^2-6)(Ax^2+Bx+C)\). Igualando coeficientes com \(P(x)=3x^5-12x^4+4x^3-31x^2-x-20\) obtemos:

Para \(x^5\): \(A=3\).
Para \(x^4\): \(B-4A=-12\Rightarrow B=0\).
Para \(x^3\): \(C-4B=4\Rightarrow C=4\).

Agora os coeficientes do resto: \(x^2\): \(-4C-6A+a=-31\Rightarrow a=3\).
\(x\): \(-6B+b=-1\Rightarrow b=-1\).
Constante: \(-6C+c=-20\Rightarrow c=4\).

Logo \(R(x)=3x^2-x+4\) e \(R(2)=3\cdot4-2+4=14\). Resposta: 14.