Em um processo MA(1) \(y_t = u_t + \theta u_{t-1}\) com \(u_t\) ruído branco de variância \(\sigma^2\), quais são a variância incondicional e a autocorrelação de ordem 1?

Resposta

Var(y_t) = (1+\theta^2)\sigma^2, \rho_1 = \(\dfrac{\theta}{1+\theta^2}\).

Explicação:
Calcula-se a variância usando independência do ruído, \(Var(y_t)=Var(u_t)+\theta^2Var(u_{t-1})=(1+\theta^2)\sigma^2\).
A autocovariância de lag 1 é \(\gamma_1=Cov(y_t,y_{t-1})=\theta\sigma^2\), portanto a autocorrelação é \(\rho_1=\gamma_1/\gamma_0=\dfrac{\theta\sigma^2}{(1+\theta^2)\sigma^2}=\dfrac{\theta}{1+\theta^2}\).

Exemplo:
Se \(\theta=0.5\) e \(\sigma^2=4\):
\(Var(y_t)=(1+0.5^2)\cdot4=(1+0.25)\cdot4=1.25\cdot4=5\).
\(\gamma_1=\theta\sigma^2=0.5\cdot4=2\).
\(\rho_1=\dfrac{2}{5}=0.4\), ou usando a fórmula direta \(\rho_1=\dfrac{0.5}{1+0.5^2}=\dfrac{0.5}{1.25}=0.4\).