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Questão FC236058

Dada a superfície definida por \(S=\left\{ (x,y,z)∈ R^3 \mid x^2+y^2+z^2=1;z>0 \right\}\) e o campo vetorial \(\vec{F}(x,y,z)=(-y,x,ze^x+y) \mid\), o fluxo do rotacional desse camp

Tópicos de Matemática (Ensino Superior)

CESGRANRIO · 2010

Dada a superfície definida por \(S=\left\{ (x,y,z)∈ R^3 \mid x^2+y^2+z^2=1;z>0 \right\}\) e o campo vetorial \(\vec{F}(x,y,z)=(-y,x,ze^x+y) \mid\), o fluxo do rotacional desse campo através de S com orientação pela normal unitária que determina o caminho \(γ(t)=(\cos \, t, - \sin \, t,0)\) para sua fronteira será igual a

  1. e
  2.  -e2
  3. e-2
  4. 0
  5. -2\(\pi\)
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Gabarito

Errado

Comentário do professor

Aplicamos o Teorema de Stokes: \( \iint_S (\nabla\times\vec F)\cdot\hat N\,dS=\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r\). Como a orientação é determinada pela curva \(\gamma(t)=(\cos t,-\sin t,0)\), calculamos diretamente a circulação ao longo de \(\gamma\).

Parametrizando com \(0\le t\le2\pi\), temos \(\vec r'(t)=(-\sin t,-\cos t,0)\). No contorno, \(x=\cos t,\;y=-\sin t,\;z=0\), então \(\vec F=( -y,x,ze^x+y )=(\sin t,\cos t,-\sin t)\).

O produto escalar é \(\vec F\cdot\vec r'=-\sin^2t-\cos^2t=-1\). Integrando: \(\int_0^{2\pi}-1\,dt=-2\pi\). Portanto o fluxo do rotacional através de \(S\) é \(\boxed{-2\pi}\).

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