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Questão FC277563

O movimento de um sistema binário de estrelas, com momento angular \(\vec{L}\), tem energia mecânica mínima, de tal modo que a distância d entre elas permanece constante ao longo d

Gravitação Universal

CEBRASPE (CESPE) · 2022

O movimento de um sistema binário de estrelas, com momento angular \(\vec{L}\), tem energia mecânica mínima, de tal modo que a distância d entre elas permanece constante ao longo do tempo. Considere que o binário esteja isolado, isto é, as únicas forças que atuam nas estrelas são devidas à atração gravitacional entre elas; que as massas das estrelas sejam dadas respectivamente por M1 e M2, e G seja a constante universal da gravitação. Considere, ainda, que todas as grandezas físicas sejam medidas em um sistema de referência no qual o centro de massa permanece sempre em repouso.


Com base nessas informações, é correto afirmar que a distância entre as estrelas é dada por

  1. \(d = { \large 1 \over 3} { \large (M_1 + M_2) | \vec{L}|^2 \over G(M_1 M_2)^2}\)
  2. \(d = { \large 1 \over 2} { \large (M_1 + M_2) | \vec{L}|^2 \over G(M_1 M_2)^2}\)
  3. \(d = { \large (M_1 + M_2) | \vec{L}|^2 \over G(M_1 M_2)^2}\)
  4. \(d = { \large 1 \over 4} { \large (M_1 + M_2) | \vec{L}|^2 \over G(M_1 M_2)^2}\)
  5. \(d = 2 { \large (M_1 + M_2) | \vec{L}|^2 \over G(M_1 M_2)^2}\)
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Gabarito

Certo

Comentário do professor

Condição de energia mínima: para dado momento angular \(|\vec L|\) a energia é mínima quando a órbita é circular (raio constante, velocidade radial nula). Isso equivale a minimizar o potencial efetivo.

Use a massa reduzida \(\mu=\dfrac{M_1M_2}{M_1+M_2}\). O momento angular relativo é \(|\vec L|=\mu r v\), com \(r=d\) e velocidade tangencial \(v\).

A condição de equilíbrio (força centrípeta = gravidade) ou \(dV_{ef}/dr=0\) dá \(\dfrac{\mu v^2}{r}=\dfrac{G M_1M_2}{r^2}\). Substituindo \(v=\dfrac{|\vec L|}{\mu r}\) resulta em

\(|\vec L|^2=\mu G M_1M_2\,r\).

Isolando \(r\) e substituindo \(\mu\) obtemos

\(d=r=\dfrac{(M_1+M_2)|\vec L|^2}{G\,(M_1M_2)^2}\),

que é a expressão indicada.

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