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Questão FC277569

A figura apresenta dois cabos de mesmo comprimento L e mesma densidade linear de massa \(\mu\), em equilíbrio com as extremidades presas no teto e em um bloco, estando um dos bloco

Fluidostática

CEBRASPE (CESPE) · 2022

 

A figura apresenta dois cabos de mesmo comprimento L e  mesma densidade linear de massa \(\mu\), em equilíbrio com as extremidades presas no teto e em um bloco, estando um dos blocos completamente mergulhado na água, com densidade dada por \(\rho_{água}\). Os dois blocos mostrados na figura têm o mesmo volume, a mesma massa e sua densidade \(\rho\) é maior que a densidade da água. Considere que atuem nos blocos a força peso, a tração dos cabos e o empuxo da água (no caso de um dos blocos).

 

Sendo f1 e f2 as frequências fundamentais de cada um dos cabos com extremidades presas, em que \(f_1 > f_2\), então a razão f2/f1 será dada por

  1. \({ \large f_2 \over f_1} = { \large ( \rho- \rho_{água})^{1/2} \over \rho^{1/2}}\).
  2. \({ \large f_2 \over f_1} = { \large ( \rho- \rho_{água})^{1/2} \over ( \rho + \rho_{água})^{1/2}}\).
  3. \({ \large f_2 \over f_1} = { \large \rho_{água}^{1/2} \over ( \rho + \rho_{água})^{1/2}}\).
  4. \({ \large f_2 \over f_1} = { \large 1 \over 2} { \large ( \rho- \rho_{água})^{1/2} \over \rho^{1/2}}\).
  5. \({ \large f_2 \over f_1} = { \large \rho^{1/2}- ( \rho - \rho_{água})^{1/2} \over \rho^{1/2}}\).
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Gabarito

A

Comentário do professor

Como os dois cabos têm o mesmo comprimento L e extremidades fixas, a fundamental possui \(\lambda=2L\) em ambos, logo \(\lambda_1=\lambda_2\).

Pela relação ondulatória \(v=\lambda f\) segue \(\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{v_2}{v_1}\).

A velocidade na corda depende da tensão e da densidade linear: \(v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}\). Como as duas cordas têm a mesma \(\mu\), vem \(\dfrac{f_2}{f_1}=\sqrt{\dfrac{T_2}{T_1}}\).

No equilíbrio, \(T_1\) sustenta o peso: \(T_1=m g\). No caso imerso age o empuxo: \(T_2=m g-\rho_{água}V g\).

Usando \(m=\rho V\) obtém-se \(T_2=m g\left(1-\dfrac{\rho_{água}}{\rho}\right)\). Assim

\(\dfrac{f_2}{f_1}=\sqrt{1-\dfrac{\rho_{água}}{\rho}}=\dfrac{(\rho-\rho_{água})^{1/2}}{\rho^{1/2}}\).

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