Questão FC277659
Uma membrana oscila com frequência f em um movimento harmônico simples em torno de uma posição de equilíbrio, gerando uma onda sonora progressiva que se propaga num tubo cilíndrico
Ondas
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Uma membrana oscila com frequência f em um movimento harmônico simples em torno de uma posição de equilíbrio, gerando uma onda sonora progressiva que se propaga num tubo cilíndrico muito longo preenchido por ar nas condições atmosféricas, cuja densidade é dada por \(\rho_{ar}\), conforme mostrado na figura precedente. Definir o comprimento de onda \(\lambda\), pois aparece na resposta.
Considere que
I a direção do eixo de simetria do cilindro e de propagação da onda é denotado pôr =.
II a posição de equilíbrio da membrana é \(x = 0\).
III no tempo t = 0, a membrana tem sua máxima amplitude com \(x = A\).
Nesse caso, a variação da pressão p(x,t), associada à propagação do som no tubo, será dada em função do tempo t e da posição x por
\(p (x,t) = \rho_{ar}^{ \lambda} f^2 A\,sen \left [ 2 \pi \left( { \large x \over \lambda} - f\,t + { \large 1 \over 2} \right) \right ]\)
\(p(x,t) = 2 \pi \rho_{ar}^{ \lambda} f^2 A\,sen \left [ 2 \pi \left( { \large x \over \lambda} - f\,t + { \large 1 \over 2} \right) \right ]\)
\(p (x,t) = 2 \pi \rho_{ar}^{ \lambda} f^2 A\,sen \left [ 2 \pi \left( { \large x \over \lambda} - f\,t + { \large 1 \over 2} \right) \right ]\)
\(p (x,t) = 2 \pi \lambda f^2 A\,sen \left [ 2 \pi \left( { \large x \over \lambda} - f\,t + { \large 1 \over 2} \right) \right ]\)
\(p (x,t) = 2 \pi \rho_{ar}^{ \lambda} f^2 A\,sen \left [ \pi \left( { \large x \over \lambda} - f\,t + { \large 1 \over 2} \right) \right ]\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A alternativa (C) expressa a variação de pressão como onda senoidal progressiva: \(p(x,t)=P_{max}\sin(kx-\omega t+\phi)\). Aqui usamos \(k=\dfrac{2\pi}{\lambda}\) e \(\omega=2\pi f\).
Ligando a pressão ao deslocamento longitudinal \(r(x,t)\) da onda, obtemos \(\Delta P=-\rho v^2\,\partial r/\partial x\). Tomando \(v=\lambda f\) e um deslocamento compatível com a condição inicial, a amplitude máxima resulta em \(P_{max}=2\pi\rho_{ar}\lambda f^2 A\).
A fase \(\phi\) é fixada pela condição inicial (membrana em máximo em \(t=0\)), o que conduz a \(\phi=\pi\), equivalente ao termo aditivo \(+1/2\) dentro do argumento multiplicado por \(2\pi\). Assim obtemos exatamente
\(p(x,t)=2\pi\rho_{ar}\lambda f^2 A\,\sen\!\left[2\pi\!\left(\dfrac{x}{\lambda}-ft+\dfrac12\right)\right]\), correspondente à letra (C).
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