Questão FC277743
O caso de uma partícula, de massa m, confinada em uma caixa com largura L e paredes unidimensionais infinitas exemplifica a aplicação da equação de Schrödinger, em que os postulado
Física Moderna
CEBRASPE (CESPE) · 2018
O caso de uma partícula, de massa m, confinada em uma caixa com largura L e paredes unidimensionais infinitas exemplifica a aplicação da equação de Schrödinger, em que os postulados da mecânica quântica são requisitados. Considerando que a parede da caixa é definida por um potencial V(x) infinito, como esboçado na figura precedente, e que as funções de onda dos estados n e m são expressas, respectivamente, por \(ψ_n\)e \(ψ_m\), assinale a opção correta.
- A solução da equação de Schrödinger, para esse caso, garante que a probabilidade de encontrar a partícula fora da caixa é diferente de zero.
- No interior da caixa, a função de onda decai exponencialmente com a coordenada espacial.
- A energia da partícula obedece à seguinte relação de igualdade: \(E_n = - { \large E_0 \over n^2}\), em que \(E_0\) a energia do estado fundamental e n = 1, 2, 3 þ são os possíveis valores do número quântico principal.
- Nos extremos da caixa, as soluções da equação de Schrödinger satisfazem às condições \(ψ_n\) (x = 0) \(≠\) 0 e \(ψ_n\) (x = L) \(≠\) 0.
- As soluções da equação de Schrödinger, nesse caso, satisfazem à seguinte condição de ortogonalidade. \(\begin{Bmatrix} ψ_n | ψ_m \end{Bmatrix} =\) \(\int_{- \infty }^{+ \infty }\) \(ψ_n \, ψ_m\) \(dx = \begin{cases} 1 para n = m \\ 0 para n ≠ m \end{cases}\)
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
A afirmação expressa a ortogonalidade e normalização dos autovalores do Hamiltoniano do poço infinito. Para os autoestados discretos temos o produto interno
\( \langle \psi_n|\psi_m\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\psi_n^*(x)\,\psi_m(x)\,dx=\delta_{nm} \),
onde \(\delta_{nm}\) é a delta de Kronecker: vale 1 se \(n=m\) e 0 caso contrário. Como \(\psi_n(x)=0\) fora do intervalo \(0\le x\le L\), a integral efetiva é sobre \([0,L]\).
Para o poço infinito as funções próprias podem ser tomadas reais, então \(\psi_n^*=\psi_n\) e a expressão reduz-se a \(\int_0^L\psi_n(x)\psi_m(x)\,dx=\delta_{nm}\).
Essa propriedade decorre do fato de o Hamiltoniano ser um operador hermitiano, garantindo autovetores ortogonais e permitindo expandir qualquer estado físico como combinação linear desses autostados.
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