Questão FC278080
As coordenadas da posição temporal de uma partícula de massa \(m\) em movimento circular são descritas, em metros, por \(r \, = \, 3[i \, cos \, (\omega t) \, + \, j \, \cdot \, se
Cinemática
CEBRASPE (CESPE) · 2021
As coordenadas da posição temporal de uma partícula de massa \(m\) em movimento circular são descritas, em metros, por \(r \, = \, 3[i \, cos \, (\omega t) \, + \, j \, \cdot \, sen \, ( \omega \, \cdot \, t) \, + \, k], \,\, em \,\, que \,\, i, \, j \,\, e \,\, k\) são versores correspondentes, respectivamente, às direções x, y e z de um sistema de coordenadas cartesianas, \(\omega\) é o módulo de sua velocidade angular e t é o tempo, em segundos.
Tendo como referência a situação precedente, e considerando que o período de rotação da referida partícula seja de 20 s, julgue o item que se seguem.
O vetor aceleração da partícula, cujo módulo é superior a 1 m/s2, tem sua origem no sistema de coordenadas cartesianas e aponta na direção do versor \(k\).
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Da posição \( \vec r(t)=3[\mathbf i\cos(\omega t)+\mathbf j\sin(\omega t)+\mathbf k]\) segue que \(z=3\) é constante: a partícula descreve uma circunferência de raio 3 no plano \(z=3\) (movimento circular uniforme).
Com \(T=20\) s, \(\omega=2\pi/T=\pi/10\). Derivando: \(\vec v=(-3\omega\sin\omega t,\,3\omega\cos\omega t,\,0)\) e \(\vec a=(-3\omega^2\cos\omega t,\,-3\omega^2\sin\omega t,\,0)= -3\omega^2(\cos\omega t,\sin\omega t,0)\).
Logo, a aceleração é centrípeta, horizontal (no plano xy) e não aponta na direção de \(\mathbf k\). Além disso seu módulo é \(|\vec a|=3\omega^2=3(\pi/10)^2\approx0{,}296\ \mathrm{m/s^2}<1\).
Portanto a afirmação é errada: o módulo não é superior a 1 e a direção não é a de \(\mathbf k\).
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