Questão FC278081
As coordenadas da posição temporal de uma partícula de massa \(m\) em movimento circular são descritas, em metros, por \(r \, = \, 3[i \, cos \, (\omega t) \, + \, j \, \cdot \, se
Cinemática
CEBRASPE (CESPE) · 2021
As coordenadas da posição temporal de uma partícula de massa \(m\) em movimento circular são descritas, em metros, por \(r \, = \, 3[i \, cos \, (\omega t) \, + \, j \, \cdot \, sen \, ( \omega \, \cdot \, t) \, + \, k], \,\, em \,\, que \,\, i, \, j \,\, e \,\, k\) são versores correspondentes, respectivamente, às direções x, y e z de um sistema de coordenadas cartesianas, \(\omega\) é o módulo de sua velocidade angular e t é o tempo, em segundos.
Tendo como referência a situação precedente, e considerando que o período de rotação da referida partícula seja de 20 s, julgue o item que se seguem.
A taxa de variação temporal do momento angular da partícula é \(d\vec{L}/dt \, = \, -9 \, \cdot \, m \, \omega^2 [-i \, sen( \omega \, \cdot \, t) \, + \, j \, cos \, (\omega \, \cdot \, t)].\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Derivamos passo a passo para verificar a igualdade. Primeiro obtenha a velocidade: \( \vec r=3(\hat\imath\cos\omega t+\hat\jmath\sin\omega t+\hat k)\Rightarrow \vec v=\dot{\vec r}=-3\omega\hat\imath\sin\omega t+3\omega\hat\jmath\cos\omega t\).
O momento angular é \( \vec L=\vec r\times m\vec v\). Calculando o produto vetorial aparecem as componentes
\(L_x=-9m\omega\cos\omega t,\; L_y=-9m\omega\sin\omega t,\; L_z=9m\omega\).
Derivando em relação ao tempo: \(\dot L_x=9m\omega^2\sin\omega t,\; \dot L_y=-9m\omega^2\cos\omega t,\; \dot L_z=0\), ou seja
\(\dfrac{d\vec L}{dt}=9m\omega^2(\hat\imath\sin\omega t-\hat\jmath\cos\omega t)\).
Reescrevendo, obtém‑se exatamente a forma dada na questão: \(\dfrac{d\vec L}{dt}=-9m\omega^2[-\hat\imath\sin\omega t+\hat\jmath\cos\omega t]\). Portanto, a afirmação é CERTO.
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