Questão FC278082
As coordenadas da posição temporal de uma partícula de massa \(m\) em movimento circular são descritas, em metros, por \(r \, = \, 3[i \, cos \, (\omega t) \, + \, j \, \cdot \, se
Cinemática
CEBRASPE (CESPE) · 2021
As coordenadas da posição temporal de uma partícula de massa \(m\) em movimento circular são descritas, em metros, por \(r \, = \, 3[i \, cos \, (\omega t) \, + \, j \, \cdot \, sen \, ( \omega \, \cdot \, t) \, + \, k], \,\, em \,\, que \,\, i, \, j \,\, e \,\, k\) são versores correspondentes, respectivamente, às direções x, y e z de um sistema de coordenadas cartesianas, \(\omega\) é o módulo de sua velocidade angular e t é o tempo, em segundos.
Tendo como referência a situação precedente, e considerando que o período de rotação da referida partícula seja de 20 s, julgue o item que se seguem.
O torque \(t\) da partícula, com relação à origem de coordenadas, é \(\vec{t} \, = \, -9 \, \cdot \, m \, \cdot \, \omega^2 \, [-i \, sen(\omega \, \cdot \, t) \, + \, j \, cos \, (\omega \, \cdot \, t)].\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Partimos da definição: o **momento angular** \(\vec L=\vec r\times m\vec v\) e o **torque** \(\vec \tau=\dfrac{d\vec L}{dt}=\vec r\times \vec F=\vec r\times m\vec a\), pois \(\vec v\times m\vec v=0\).
Da posição \(\vec r=3[\cos(\omega t)\,\mathbf i+\sin(\omega t)\,\mathbf j+\mathbf k]\) obtemos \(\vec v=3\omega[-\sin(\omega t)\,\mathbf i+\cos(\omega t)\,\mathbf j]\) e \(\vec a=-3\omega^2[\cos(\omega t)\,\mathbf i+\sin(\omega t)\,\mathbf j]\).
Então \(\vec \tau=\vec r\times m\vec a = -9m\omega^2\{[\cos(\omega t)\,\mathbf i+\sin(\omega t)\,\mathbf j+\mathbf k]\times[\cos(\omega t)\,\mathbf i+\sin(\omega t)\,\mathbf j]\}.\) As componentes em \(\mathbf k\) anulam‑se, sobrando \(-9m\omega^2[-\sin(\omega t)\,\mathbf i+\cos(\omega t)\,\mathbf j]\), igual à expressão dada. Portanto, a afirmação está CERTO.
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