Acerca da mecânica newtoniana, julgue o item a seguir. A função vetorial F = xyi + yj é conservativa.

Gabarito

Errado

Comentário do professor

Para que um campo seja conservativa em um conjunto simplesmente conectado, é necessário (e suficiente) que o rotor \( (\nabla\times\mathbf F) \) seja nulo em todo o domínio.

Tomando \(\mathbf F=xy\,\mathbf i + y\,\mathbf j + 0\,\mathbf k\) e calculando o rotor pelo determinante padrão, obtemos as componentes:

\( (\nabla\times\mathbf F)_x=\frac{\partial}{\partial y}0-\frac{\partial}{\partial z}y=0\),
\( (\nabla\times\mathbf F)_y=\frac{\partial}{\partial z}(xy)-\frac{\partial}{\partial x}0=0\),
\( (\nabla\times\mathbf F)_z=\frac{\partial}{\partial x}y-\frac{\partial}{\partial y}(xy)=0-x=-x.\)

Logo \( \nabla\times\mathbf F=-x\,\mathbf k\), que não é o vetor zero para \(x\neq0\). Assim, o campo não satisfaz a condição de rotor nulo em todo o domínio e, portanto, não é conservativo.

Portanto, o item está ERRADO.