Questão FC278274
A seguir, a figura ilustra as órbitas de dois planetas (A e B) que se movimentam em órbitas planares em relação ao Sol. Na tabela subsequente, Ri é a distância média do i-ésimo pla
Gravitação Universal
CEBRASPE (CESPE) · 2023
A seguir, a figura ilustra as órbitas de dois planetas (A e B) que se movimentam em órbitas planares em relação ao Sol. Na tabela subsequente, Ri é a distância média do i-ésimo planeta até o Sol, e Ti é o período de rotação do i-ésimo planeta, em anos da Terra.
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dados planetários obtidos com base nas leis de Kepler |
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| ordem | planeta | Ri (106 km) | Ti |
| 1 |
Mercúrio |
57,9 |
0,241 |
| 2 | Vênus | 108,2 |
0,241 |
| 3 | Terra | 149,6 |
0,615 |
| 4 | Marte | 227,9 | 1,000 |
| 5 | Júpiter | 778,3 |
1,880 |
| 6 | Saturno | 1427,0 |
11,860 |
| 7 | Urano | 2870,0 |
84,000 |
| 8 | Neruno | 4497,0 |
165,000 |
Com base nessas informações e nas leis de Kepler, julgue o item que se segue.
Considerando-se as razões KR = (RA/RB)3 e KT = (TA/TB)2, é correto afirmar que o valor de KT/KR depende de cada par de planetas A e B mostrados na figura.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
Definindo \(K_R=(R_A/R_B)^3\) e \(K_T=(T_A/T_B)^2\), temos
\( \dfrac{K_R}{K_T}=\dfrac{(R_A/R_B)^3}{(T_A/T_B)^2}=\dfrac{R_A^3}{T_A^2}\cdot\dfrac{T_B^2}{R_B^3}\).
Pela Lei de Kepler (3ª), para qualquer planeta \(R^3\propto T^2\), logo existe uma constante \(k\) tal que \(R^3/T^2=k\) para todos os planetas. Assim \(R_A^3/T_A^2=k\) e \(R_B^3/T_B^2=k\).
Substituindo na expressão obtemos
\(\dfrac{K_R}{K_T}=k\cdot\dfrac{1}{k}=1\). Portanto \(K_R=K_T\) para qualquer par de planetas, ou seja, \(\dfrac{K_T}{K_R}=1\) é independente da escolha de A e B.
Conclusão: a afirmação é errada porque a razão não depende dos pares; é sempre igual a 1 em decorrência da lei de Kepler.
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