Questão FC278362
Um tanque cilíndrico, de diâmetro D = 2 m, contém água até um nível h = 2 m acima de um pequeno orifício de diâmetro d = 1 cm, conforme ilustra a figura a seguir. O tanque está sob
Fluidodinâmica
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Um tanque cilíndrico, de diâmetro D = 2 m, contém água até um nível h = 2 m acima de um pequeno orifício de diâmetro d = 1 cm, conforme ilustra a figura a seguir. O tanque está sobre um carro que pode se movimentar livremente sobre um trilho horizontal, com atrito desprezível. A água começa a sair pelo orifício em um instante inicial t = 0. Na figura, V denota a velocidade de descida da superfície livre do tanque e v, a velocidade de saída da água no pequeno orifício. A massa total do tanque com a água e o do carrinho é M, a densidade da água é de 1.000 kg/m3 e a aceleração da gravidade é \(g = 10 m/s^2\).
A partir das informações precedentes, no texto e na figura, julgue o próximo item.
Se a altura inicial h quadruplicar, então o tempo para esvaziar o tanque até o nível do orifício irá dobrar.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Pelo princípio de Torricelli a velocidade de saída segue \(v=\sqrt{2gh}\), ou seja, \(v\propto\sqrt{h}\). Mesmo com o tanque móvel, a vazão no orifício determina a velocidade de descida da superfície por conservação de massa (relação de áreas), logo \(\dfrac{dh}{dt}\propto -\sqrt{h}\).
Escrevendo \(-\dfrac{dh}{dt}=k\sqrt{h}\) e separando variáveis: \(-\int h^{-1/2}dh=\int k\,dt\) resulta em \(2\sqrt{h}= -kt + C\). Com \(t=0\) e \(h=h_0\) obtemos \(C=2\sqrt{h_0}\).
No esvaziamento (\(h=0\)) surge \(t_f=\dfrac{2\sqrt{h_0}}{k}\), isto é, \(t_f\propto\sqrt{h_0}\). Portanto, se \(h_0\) é quadruplicada, \(\sqrt{h_0}\) dobra e o tempo de esvaziamento também dobra, confirmando o item.
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