Duas ondas transversais propagando-se em uma corda são descritas pelas equações \(y_1(t) = { \large 1 \over 3} cos(6x - 1,5t)\) e \(y_2 (t) = { \large 1 \over 3} cos (6x + 1,5 t)\)

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Aqui as duas ondas têm a mesma amplitude \(A=\tfrac{1}{3}\), mesmo número de onda \(k=6\) e frequências angulares de sinais opostos (\(\omega=1{,}5\) e \(-1{,}5\)), ou seja, propagam-se em direções contrárias. Por superposição, usando a identidade trigonométrica \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\), obtém-se

\(y=y_1+y_2=\tfrac{1}{3}\cos(6x-1{,}5t)+\tfrac{1}{3}\cos(6x+1{,}5t)=\tfrac{2}{3}\cos(6x)\cos(1{,}5t)\).

Essa forma mostra uma onda estacionária: a oscilação temporal \(\cos(1{,}5t)\) é modulada por um perfil espacial fixo \(\cos(6x)\). Os nós ocorrem quando \(\cos(6x)=0\), isto é, em \(x_n=\dfrac{(2n+1)\pi}{12}\), posições independentes do tempo; os antínodos são onde \(\cos(6x)=\pm1\). Portanto, a posição dos nós não se altera com o tempo.