Questão FC278837
Considere uma esfera isolante com distribuição de carga não uniforme dada por \(ρ \, = \, Cr/R\), em que R representa o raio da esfera, r, a distância de um ponto qualquer da esfer
Eletrostática
CEBRASPE (CESPE) · 2021
Considere uma esfera isolante com distribuição de carga não uniforme dada por \(ρ \, = \, Cr/R\), em que R representa o raio da esfera, r, a distância de um ponto qualquer da esfera até o centro, e C, uma constante. Com base na eletrostática e em áreas correlatas, julgue o item que se seguem.
A uma distância r < R do centro da esfera isolante, o campo elétrico é proporcional a r.
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Gabarito
Errado
Comentário do professor
O item está ERRADO porque, para r < R, o campo interno não cresce linearmente com r, e sim com o quadrado de r.
Com densidade volumétrica \(\rho=\dfrac{C\,r}{R}\) e elemento de volume \(dV=4\pi r'^2dr'\), a carga interna é
\(Q_{int}=\displaystyle\int_0^{r}\rho\,dV=\frac{4\pi C}{R}\int_0^{r}r'^3dr'=\frac{\pi C r^4}{R}\).
Pela Lei de Gauss e simetria esférica: \(E\cdot 4\pi r^2=\dfrac{Q_{int}}{\varepsilon_0}\). Substituindo \(Q_{int}\) obtém-se
\(E=\dfrac{1}{4\varepsilon_0}\cdot\dfrac{C\,r^2}{R}\).
Portanto o campo para \(r<R\) é proporcional a \(r^2\), não a r, justificando o julgamento ERRADO.
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