Questão FC278850
A figura anterior representa um conjunto de \(N\) esferas condutoras de dimensões diferentes, cujos raios satisfazem a relação \(r_{n + 1} = 2r_n\). Inicialmente, todas as esferas
Eletrostática
CEBRASPE (CESPE) · 2022
A figura anterior representa um conjunto de \(N\) esferas condutoras de dimensões diferentes, cujos raios satisfazem a relação \(r_{n + 1} = 2r_n\). Inicialmente, todas as esferas estão ligadas, sequencialmente, por fios condutores elétricos, exceto a menor delas, de raio r1. Antes de a chave ser ligada, conectando os pontos A e B, a menor esfera tem uma carga elétrica \(Q_1\) = 1 C e as outras esferas têm cargas elétricas nulas.
Com base nessas informações, julgue o item.
Após a chave ser ligada, conectando os pontos A e B, e o arranjo de cargas atingir o equilíbrio eletrostático, o valor da carga da n-ésima esfera será dado por uma progressão geométrica de razão 2.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Ao fechar a chave, todas as esferas ficam eletricamente conectadas, formando um único condutor em equilíbrio. Em equilíbrio, todos os pontos desse condutor têm o mesmo potencial elétrico.
O potencial de uma esfera de raio \(r_n\) e carga \(Q_n\) é dado por \(V_n=\dfrac{KQ_n}{r_n}\). Igualando os potenciais de quaisquer duas esferas temos \( \dfrac{KQ_n}{r_n}= \dfrac{KQ_{n+1}}{r_{n+1}}\), ou seja \(Q_{n+1}=Q_n\frac{r_{n+1}}{r_n}\).
Como é dado \(r_{n+1}=2r_n\), segue \(Q_{n+1}=2Q_n\). Portanto as cargas seguem uma progressão geométrica com razão 2. Para a n-ésima esfera: \(Q_n=2^{\,n-1}Q_1\), compatível com o gabarito.
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