Questão FC278879
Em certo sistema de referência, uma carga finita Q está distribuída no vácuo, sendo descrita por uma função densidade de cargas \(\rho(t, \vec{r})\), em que t é o tempo e \(\vec{r}
Eletromagnetismo
CEBRASPE (CESPE) · 2025
Em certo sistema de referência, uma carga finita Q está distribuída no vácuo, sendo descrita por uma função densidade de cargas \(\rho(t, \vec{r})\), em que t é o tempo e \(\vec{r}\) denota o vetor posição de um ponto P no espaço, com relação à origem do sistema de coordenadas espaciais, associado ao sistema de referência considerado, conforme a figura a seguir.
A distribuição de cargas está confinada a uma região esférica de raio R em torno da origem do sistema de referência, isto é, \(\rho(t, \vec{r}) = 0\) para todo tempo t e \(\vec{t}\), tal que \(| \vec{r}|> R\). Uma distribuição de cargas é dita estacionária se, e somente se, sua densidade de cargas \(\rho(t, \vec{r})\) não depender do tempo.
Considerando que as equações de Maxwell descrevem as relações entre a densidade de cargas considerada e os campos eletromagnéticos associados a ela, e que \(\rho(t, \vec{r}) = \rho( \vec{r})\) quando a distribuição de cargas é estacionária, julgue o item a seguir.
Se a densidade de carga for constante e positiva, isto é, \(\rho(t, \vec{r}) = C > 0\), então o campo elétrico em um ponto P qualquer do espaço terá a mesma direção do vetor posição \(\vec{r}\) associado a P, e a intensidade do campo elétrico dentro da região esférica de raio R poderá ser escrita como \(| \vec{E}| = A | \vec{r}|\), em que A é uma constante que depende de Q e R.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A afirmação é correta por aplicação da lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico à carga envolvida: \( \oint \vec{E}\cdot d\vec{A}=\dfrac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_0}\).
Pela simetria esférica e densidade uniforme \(\rho=C>0\), o campo é radial e constante em uma esfera de raio \(r\). A carga interna é \(Q_{\text{int}}=\rho\frac{4}{3}\pi r^3\). Substituindo na lei de Gauss: \(E\cdot 4\pi r^2=\dfrac{\rho\frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}\), daí \(E=\dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\,r\).
Logo, \(|\vec{E}|=A|\vec{r}|\) com \(A=\dfrac{\rho}{3\varepsilon_0}\); como \(\rho>0\), \(\vec{E}\) tem mesma direção de \(\vec{r}\). A constante A depende indiretamente de \(Q\) e \(R\) via \(Q=\rho\frac{4}{3}\pi R^3\).
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