Julgue o próximo item, relativos à mecânica celeste. A equação da energia total de um corpo em órbita do Sol pode ser derivada a partir do momentum angular e da equação da trajetór

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A afirmação é certa porque, a partir da conservação do momentum angular e da equação da trajetória, obtém‑se a relação entre velocidade e posição que leva à equação da energia orbital. A energia total por unidade de massa é \( \varepsilon=\tfrac{v^2}{2}-\tfrac{\mu}{r} \), e a trajetória cônica pode ser escrita como \( r=\tfrac{p}{1+e\cos\theta} \) com \( p=\tfrac{h^2}{\mu} \) (onde \(h\) é o momento angular por unidade de massa e \(\mu=GM\)).

Eliminando \(v\) usando \(h\) e a equação da órbita chega‑se à relação de vis‑viva \( v^2=\mu\!\left(\tfrac{2}{r}-\tfrac{1}{a}\right) \), daí \( \varepsilon=-\tfrac{\mu}{2a} \). Assim, o semieixo maior satisfaz \( a=-\tfrac{\mu}{2\varepsilon} \), mostrando que \(a\) depende somente da energia do sistema (com sinais físicos: \(\varepsilon<0\) elipse, \(\varepsilon=0\) parábola, \(\varepsilon>0\) hipérbole).