Questão FC349334
A continuidade de operação de uma máquina costuma levar em consideração os custos de manutenção previstos, os custos de reposição total e o seu valor de revenda. Uma expressão que
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FGV · 2024
A continuidade de operação de uma máquina costuma levar em consideração os custos de manutenção previstos, os custos de reposição total e o seu valor de revenda. Uma expressão que pode ser utilizada para representar o custo total (Ct) para a operação de uma máquina é dada por:
\(cT = It/N+K+ND\)
em que:
It é o investimento total;
N é o número de anos de vida econômica útil;
K é o custo constante anual de operação; e
D é o incremento anual dos custos de manutenção.
Avalie a taxa de variação do custo total Ct em função de N e assinale a alternativa abaixo que contém o valor de N na qual o valor do custo total Ct será mínimo.
- \(N=\sqrt{It/D}\).
- \(N=2(D/It)+K\).
- \(N=It/D\).
- \(N=\sqrt{D/It}+K\).
- \(N=D/It\).
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Gabarito
A
Comentário do professor
Partindo da função do custo total \(Ct = \dfrac{It}{N} + K + ND\), note que \(K\) é constante anual e não depende de \(N\).
Para localizar o ponto de mínimo, calculamos a derivada de \(Ct\) em relação a \(N\):
\(\dfrac{dCt}{dN} = -\dfrac{It}{N^2} + D\).
Igualando a derivada a zero (condição necessária para extremo):
\(-\dfrac{It}{N^2} + D = 0 \Rightarrow \dfrac{It}{N^2} = D\).
Resolvendo para \(N\):
\(N^2 = \dfrac{It}{D}\) e, como \(N>0\), obtém-se \(N = \sqrt{\dfrac{It}{D}}\).
Além disso, a segunda derivada \(\dfrac{d^2Ct}{dN^2} = \dfrac{2It}{N^3}\) é positiva para \(It>0\), confirmando que este ponto é de mínimo do custo total.
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