Considerando a função Cobb-Douglas \(U \, = \, x^\alpha \, y^\beta,\) em que \(x\) e \(y\) são duas variáveis, \(\alpha\) e \(\beta\) são dois parâmetros positivos e \(U\) é função

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A afirmação é correta porque, ao calcular a derivada parcial de \(U(x,y)=x^\alpha y^\beta\) em relação a \(x\), tratamos \(y^\beta\) como constante. Aplicando a regra do poder ao fator \(x^\alpha\) obtém-se \(\frac{d}{dx}x^\alpha=\alpha x^{\alpha-1}\).

Multiplicando esse resultado pela constante \(y^\beta\) vem \(\displaystyle\frac{\partial U}{\partial x}=\alpha x^{\alpha-1}y^\beta\), que corresponde à expressão dada (onde \(a\) representa \(\alpha\)).

Observação: a hipótese \(\alpha,\beta>0\) garante a diferenciabilidade em \(x>0,y>0\), mas o procedimento vale formalmente sempre que as potências sejam diferenciáveis na região considerada.