Questão FC453822
Uma firma produz um bem \(Q\) a partir da seguinte função de produção Cobb-Douglas: \(Q (L, \, K) \, = \, L^{\alpha} \, K^{\beta},\) em que \(L\) é a quantidade utilizada do insumo
Microeconomia
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Uma firma produz um bem \(Q\) a partir da seguinte função de produção Cobb-Douglas: \(Q (L, \, K) \, = \, L^{\alpha} \, K^{\beta},\) em que \(L\) é a quantidade utilizada do insumo trabalho e \(K,\) a quantidade do insumo capital. Os preços unitários dos insumos trabalho e capital são representados, respectivamente, por \(w\) e \(r\).
A partir dessas informações e com base nas teorias da firma e dos custos, julgue o item subsequente.
Se \(\alpha \, + \, \beta \, > \, 1,\) a função de produção apresenta retornos crescentes de escala e os produtos marginais são homogêneos de grau \((\alpha \, + \, \beta) \, - \, 1.\)
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
A afirmação é correta. Para uma função Cobb‑Douglas \(Q(L,K)=L^{\alpha}K^{\beta}\), ao multiplicar os insumos por \(t>0\) tem-se \(Q(tL,tK)=t^{\alpha+\beta}Q(L,K)\). Logo, se \(\alpha+\beta>1\) o produto cresce mais que proporcionalmente, isto é, há rendimentos crescentes de escala.
As produtividades marginais são dadas por \(PMg_L=\partial Q/\partial L=\alpha L^{\alpha-1}K^{\beta}\) e \(PMg_K=\beta L^{\alpha}K^{\beta-1}\). Aplicando escala \(t\):
\(PMg_L(tL,tK)=\alpha (tL)^{\alpha-1}(tK)^{\beta}=t^{\alpha+\beta-1}PMg_L(L,K)\).
O mesmo vale para \(PMg_K\). Portanto, os produtos marginais são homogêneos de grau \((\alpha+\beta)-1\), confirmando a segunda parte da sentença.
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