Questão FC453830
Uma firma produz x unidades de seu produto usando K unidades de capital e L unidades de mão de obra. A função de produção da firma é \(x = \sqrt{KL}\). O custo unitário do capital
Microeconomia
CEBRASPE (CESPE) · 2024
Uma firma produz x unidades de seu produto usando K unidades de capital e L unidades de mão de obra. A função de produção da firma é \(x = \sqrt{KL}\). O custo unitário do capital é r = 0,16, enquanto o custo unitário da mão de obra é w = 100. O problema da firma, então, consiste em minimizar o custo total para produzir x unidades do produto.
A partir dessa situação hipotética, julgue o próximo item.
Em uma análise de longo prazo, o custo C é função linear da produção x.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
CERTO.
A função \(x=\sqrt{KL}\) é homogênea de grau 1, ou seja apresenta retornos constantes de escala, logo dobrar insumos dobra a produção. O problema de custo é minimizar \(C=rK+wL\) sujeito a \( \sqrt{KL}=x\).
Substituindo \(L=x^2/K\) tem-se \(C=rK+w\frac{x^2}{K}\). Pela condição de primeira ordem obtém-se \(K=x\sqrt{\frac{w}{r}}\) e \(L=x\sqrt{\frac{r}{w}}\). Assim, \(K\) e \(L\) são proporcionais a \(x\).
Logo o custo mínimo é \(C=rK+wL=2x\sqrt{rw}\). Com \(r=0{,}16\) e \(w=100\) temos \(\sqrt{rw}=4\), então \(C(x)=8x\), função linear em \(x\).
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