Questão FC453838
Uma firma produz um bem \(Q\) a partir da seguinte função de produção Cobb-Douglas: \(Q (L, \, K) \, = \, L^{\alpha} \, K^{\beta},\) em que \(L\) é a quantidade utilizada do insumo
Microeconomia
CEBRASPE (CESPE) · 2022
Uma firma produz um bem \(Q\) a partir da seguinte função de produção Cobb-Douglas: \(Q (L, \, K) \, = \, L^{\alpha} \, K^{\beta},\) em que \(L\) é a quantidade utilizada do insumo trabalho e \(K,\) a quantidade do insumo capital. Os preços unitários dos insumos trabalho e capital são representados, respectivamente, por \(w\) e \(r\).
A partir dessas informações e com base nas teorias da firma e dos custos, julgue o item subsequente.
Se \(\alpha \, = \, \beta \, = \, 0,5\) e \(w \, = \, r \, = \, 1,\) o custo marginal da firma será igual a 2 no longo prazo.
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Gabarito
Certo
Comentário do professor
Partindo da função de produção \(Q=L^{0.5}K^{0.5}\) e dos preços \(w=r=1\), o custo total é \(C=L+K\).
Para minimizar custo dado \(Q\), escrevemos \(K=\dfrac{Q^2}{L}\) (pois \(L^{0.5}K^{0.5}=Q\)) e obtemos \(C(L)=L+\dfrac{Q^2}{L}\).
Derivando em relação a \(L\) e igualando a zero: \(1-\dfrac{Q^2}{L^2}=0\), logo \(L=Q\). Assim \(K=Q\) e o custo mínimo é \(C^*(Q)=L+K=2Q\).
Como a soma dos expoentes é 1, há retornos constantes de escala, resultando em custo total linear. O Custo Marginal é \(CM=\dfrac{dC^*}{dQ}=2\), confirmando a afirmação.
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