Considerando os pressupostos do modelo clássico de regressão linear, julgue o item a seguir. No modelo de mínimos quadrados ordinários estimados a partir da origem, os estimadores

Gabarito

Certo

Comentário do professor

A afirmação está certa porque estimar por origem implica omitir o intercepto real quando ele existe, violando a condição \(E[u|X]=0\) usada no modelo clássico.

Se o verdadeiro modelo é \(y_i=\beta_0+\beta_1 x_i+u_i\) com \(E[u_i|x_i]=0\), mas estimamos \(y_i=\tilde\beta_1 x_i+v_i\) então \(v_i=\beta_0+u_i\) e \(E[v_i|x_i]=\beta_0\neq0\) em geral. O estimador por origem é

\(\tilde\beta_1=\dfrac{\sum x_i y_i}{\sum x_i^2}=\beta_1+\beta_0\dfrac{\sum x_i}{\sum x_i^2}+\dfrac{\sum x_i u_i}{\sum x_i^2}\).

Tomando esperança condicional: \(E[\tilde\beta_1|X]=\beta_1+\beta_0\dfrac{\sum x_i}{\sum x_i^2}\), que difere de \(\beta_1\) salvo se \(\beta_0=0\) ou \(\sum x_i=0\). Portanto, em geral os estimadores serão viesados.