Para que um montante de laranjas possa ser dividido em 7 grupos, com um deles contendo 1/2 do total de laranjas, outro contendo 1/3 do total de laranjas e os 5 restantes contendo c

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja x o total de laranjas e n a quantidade em cada um dos 5 grupos iguais. Tem-se

\(x=\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{3}x+5n\).

Multiplicando por 6 para eliminar denominadores: \(6x=3x+2x+30n\). Assim \(x=30n\).

Portanto, x é múltiplo de 30, pois \(n\in\mathbb{N}\).

Reciprocamente, se x é múltiplo de 30, escreva \(x=30n\). Então \(\tfrac{1}{2}x=15n\), \(\tfrac{1}{3}x=10n\) e os 5 grupos iguais têm cada um \(n\) laranjas, totalizando \(15n+10n+5n=30n=x\). Logo, é necessário e suficiente que o total seja múltiplo de 30.