Marta e Nilson brincam da seguinte maneira. Marta sempre começa e escolhe um número inteiro maior ou igual a 1 e menor do que 10000. Em seguida, Nilson multiplica esse número por 4

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Para ganhar ao obter um produto >10000, basta na sua vez receber um valor \(v\) tal que \(v\cdot 9>10000\). Assim o limite é \(v>\dfrac{10000}{9}\approx1111{,}11\).

Se Marta escolher \(x\) e, após a jogada de Nilson, for garantido que \(m\cdot x>1111{,}11\) para todo \(m\in\{4,7,9\}\), então Marta vence na jogada seguinte. Como o menor multiplicador é 4, basta \(4x>1111{,}11\), ou seja \(x\ge 278\). Daí 278 é válido.

Se \(x<278\), Marta pode ainda forçar chegar a \(\ge278\) na sua segunda jogada. Nilson escolhe o multiplicador que pior ajuda Marta (o menor, 4), e Marta escolherá o maior (9). Portanto precisamos de \(9\cdot(4x)\ge278\), isto é \(36x\ge278\), logo \(x\ge8\).

Além disso, para que Nilson não já ultrapasse 278 na sua primeira jogada, precisamos \(9x\le277\), o que dá \(x\le30\). Assim qualquer \(x\) entre 8 e 30 funciona; 29 é um exemplo representativo. Portanto 8, 29 e 278 são escolhas que garantem a vitória de Marta.