Os algarismos A, B, C e D, na conta armada, são distintos entre si. \({ \large A \,\, B \,\, C \,\, D \\ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\times \,\,\, 9 \over D \,\, C \,\, B \,\, A}\) O val

Gabarito

B

Comentário do professor

Multiplicando um número de 4 dígitos por 9 e obtendo outro de 4 dígitos, o primeiro dígito \(A\) só pode ser 1, pois se fosse ≥2 o produto teria 5 dígitos. Assim \(A=1\) e, da unidade, \(9\times A\) dá \(9\), logo \(D=9\).

Na multiplicação por colunas, \(9\times D=9\times9=81\) coloca o dígito \(A=1\) e gera vai 8 para a próxima coluna. Então vale \(9C+8\equiv B\pmod{10}\) e o próximo transporte é \(k=\lfloor(9C+8)/10\rfloor\).

Como o transporte final deve ser zero, temos \(9B+k<10\). Isso obriga \(B\le1\), e como \(A=1\) os dígitos são distintos, segue \(B=0\). Substituindo em \(9C+8\equiv B\equiv0\pmod{10}\) dá \(9C\equiv2\pmod{10}\), portanto \(C=8\).

Logo \(B+C=0+8=8\).