Bruno dividiu suas bolinhas de gude em grupos de 3 bolinhas e sobraram duas. Depois as dividiu em grupos de 5 e sobrou uma bolinha. O menor número de bolinhas que Bruno deve adquir

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja x o número de bolinhas. Sabemos que a divisão por 3 deixa resto 2 e por 5 deixa resto 1, isto é \(x\equiv2\pmod{3}\) e \(x\equiv1\pmod{5}\).

Queremos o mínimo \(k\ge0\) que deve ser adquirido para que \(x+k\) seja divisível por 3 e por 5 simultaneamente. Isso exige \(2+k\equiv0\pmod{3}\) e \(1+k\equiv0\pmod{5}\).

Assim \(k\equiv1\pmod{3}\) e \(k\equiv4\pmod{5}\). Listando: \(k=1,4,7,10,\dots\) para módulo 3 e \(k=4,9,14,\dots\) para módulo 5. A interseção mínima é \(k=4\).

Verificação rápida: somando 4, os restos ficam \(2+4=6\) e \(1+4=5\), ambos divisíveis por 3 e por 5. Portanto, o menor número de bolinhas a adquirir é 4 bolinhas.