O professor de educação física divide os alunos de uma turma em equipes de 7 alunos cada uma e não sobra nenhum aluno, mas quando divide essa mesma turma em equipes de 3 ou de 4 ou

Gabarito

D

Comentário do professor

Se a turma é dividida em equipes de 7 alunos sem sobrar ninguém, o número de alunos \(n\) é um múltiplo de 7. Como ao dividir por 3, 4 ou 6 sobra 1, temos que \(n-1\) é divisível por 3, por 4 e por 6.

Logo, \(n-1\) é múltiplo do mmc(3,4,6). Calculando os fatores primos obtemos \(mmc(3,4,6)=2^2\cdot3=12\).

Assim \(n=12k+1\) para algum inteiro \(k\). Como \(n\) também é múltiplo de 7, vale \(12k+1\equiv0\pmod7\), ou seja \(12k\equiv6\pmod7\).

Reduzindo \(12\equiv5\pmod7\) obtemos \(5k\equiv6\pmod7\). O inverso de 5 módulo 7 é 3, então \(k\equiv3\cdot6\equiv4\pmod7\). O menor \(k>0\) é 4.

Portanto \(n=12\cdot4+1=49\). Verifique: com 48 alunos não sobra nada em equipes de 3,4 ou 6, e com 49 sobra 1.

A soma dos algarismos de 49 é \(4+9= \)\13.