Um pacote contém N balas. Sabe-se que N ≤ 29 e que há 8 maneiras diferentes de dividir o número de balas do pacote em partes iguais, incluindo a divisão trivial em uma só parte con

Gabarito

D

Comentário do professor

Queremos \(N\le 29\) com exatamente 8 formas de dividir as balas em partes iguais, isto é, \(N\) tem 8 divisores naturais.

Seja \(N=\prod p_i^{a_i}\). O número de divisores é \(\prod (a_i+1)\). Por exemplo, \(20=2^2\cdot5^1\) tem \((2+1)(1+1)=6\) divisores.

Para obter 8 temos apenas duas estruturas possíveis: \((1+1)(1+1)(1+1)=8\) ou \((3+1)(1+1)=8\).

No primeiro caso \(N\) seria produto de três primos distintos, mínimo \(2\cdot3\cdot5=30\), acima de 29, logo impossível.

No segundo caso \(N=p^3q\). A menor escolha é \(2^3\cdot3=24\), que satisfaz \(N\le29\) e tem 8 divisores.

Portanto o resto de \(24\) na divisão por \(5\) é \(24\mod5=4\).