O valor da soma \(\frac {1} {2022^{-2} \, +1} \, + \, \frac {1} {2022^{-1} \, +1} \, + \, \frac {1} {2022^{0} \, +1} \, + \, \frac {1} {2022^{1} \, +1} \, + \, \frac {1} {2022^{2}

Gabarito

B

Comentário do professor

Seja \(a=2022\). Observe os expoentes simétricos. Para \(k=1,2\) temos o par de termos \(\frac{1}{a^{k}+1}\) e \(\frac{1}{a^{-k}+1}\).

Note que \(\frac{1}{a^{-k}+1}=\frac{1}{1+1/a^{k}}=\frac{a^{k}}{1+a^{k}}\). Assim

par: \(\frac{1}{a^{k}+1}+\frac{1}{a^{-k}+1}=\frac{1}{1+a^{k}}+\frac{a^{k}}{1+a^{k}}=\frac{1+a^{k}}{1+a^{k}}=1\).

Temos dois desses pares (para \(k=1\) e \(k=2\)), cada um valendo \(1\). O termo central, com \(k=0\), é \(\frac{1}{a^{0}+1}=\frac{1}{2}\).

Somando: \(1+1+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\). Portanto a soma vale \(\frac{5}{2}\).