Se x e y são inteiros positivos que satisfazem 7 x + 1 + 7 x = 8 y + 2 − 15 • 8 y , então x + y é igual a

Gabarito

Certo

Comentário do professor

Escreva as potências como produtos: \(7^{x+1}=7\cdot7^x\) e \(8^{y+2}=8^2\cdot8^y\). Substituindo na equação obtemos \(7\cdot7^x+7^x=8^2\cdot8^y-15\cdot8^y\).

Factorizamos os dois lados: \(7^x(7+1)=8^y(8^2-15)\). Calculando: \(7^x\cdot8=8^y\cdot49\) e, como \(49=7^2\), fica \(7^x\cdot8^1=7^2\cdot8^y\).

Como \(7\) e \(8\) são coprimos, a única forma de os produtos coincidirem é igualando os expoentes de cada base. Daí \(x=2\) e \(y=1\).

Portanto, \( \mathbf{x+y=3} \).