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Questão FC572272

José está interessado em números de 3 algarismos em que um deles é a média dos outros dois. Por exemplo, 546, 354 e 333 são números que interessam a José, mas 012 não é um número d

Análise Combinatória (Princípio Fundamental da Contagem, Arranjos, Combinações, Permutações)

FCC · 2024

José está interessado em números de 3 algarismos em que um deles é a média dos outros dois. Por exemplo, 546, 354 e 333 são números que interessam a José, mas 012 não é um número de 3 algarismos. apesar de 1 ser a média de 0 e 2. Se José contar os números de 3 algarismos em que 2 é a média dos outros dois algarismos vai encontrar um total de

  1. 10.
  2. 6.
  3. 13.
  4. 11.
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Gabarito

D

Comentário do professor

Coloque os três algarismos como \(a,b,c\) e suponha que um deles seja \(2\). Se \(2\) é a média dos outros dois, temos \(2=\dfrac{u+v}{2}\), logo \(u+v=4\).

Os pares de dígitos \(u,v\) (valores entre 0 e 9) que satisfazem isso são: \((0,4),(1,3),(2,2)\).

Para o par (0,4) os algarismos do número são \{0,4,2\} todos distintos. As permutações são 6, mas as que começam com 0 não são números de três algarismos (2 permutações), sobrando 4 números.

Para o par (1,3) os algarismos são \{1,3,2\} todos distintos; todas as 6 permutações são válidas, dando 6 números.

Para o par (2,2) o único número possível é 222, ou seja 1 número.

Somando os casos: \(4+6+1=11\). Portanto, existem 11 números de três algarismos com 2 como média dos outros dois algarismos.

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