Os amigos Alberto, Bruno e Carlos resolveram trazer de casa um livro cada um para trocarem entre eles. O número de maneiras que isso pode ser feito, de modo que nenhum deles fique

Gabarito

D

Comentário do professor

Consideremos os livros \(A,B,C\) trazidos por Alberto, Bruno e Carlos, respectivamente. Queremos que ninguém fique com o próprio livro e que ninguém repasse o que recebeu.

Listando as possibilidades válidas, há apenas duas: se Alberto fica com \(B\), então Bruno fica com \(C\) e Carlos com \(A\); ou se Alberto fica com \(C\), então Bruno fica com \(A\) e Carlos com \(B\).
Portanto existem exatamente 2 trocas possíveis.

De forma geral, trata-se de um desarranjo de \(n\) elementos. A fórmula é \( !n = n! \sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k!}\). Para \(n=3\):

\( !3 = 3!\left(1 - 1 + \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{6}\right) = 6\cdot\tfrac{1}{3} = 2\).

Logo, a resposta correta é 2.