Na soma abaixo, letras iguais representam algarismos iguais e letras diferentes representam algarismos diferentes. O valor de X é

Gabarito

Certo

Comentário do professor

O resultado tem três algarismos iguais \(ZZZ\), logo \(Z\ne 0\). Pela soma de dois algarismos \(X\) e um número de dois algarismos \(YY\) o máximo é \(9+9+99=117\), portanto o centenar é \(1\). Assim \(ZZZ=111\) e \(Z=1\).

Nas unidades: \(X+X+Y\) tem resto \(1\) módulo \(10\). Seja \(c_1\) o transporte das unidades para as dezenas, ou seja \(c_1=\left\lfloor\dfrac{2X+Y}{10}\right\rfloor\).

Nas dezenas: \(Y+c_1\) produz \(1\) na posição das dezenas e gera transporte \(c_2\) para as centenas. Como a centena do resultado é \(1\), temos \(c_2=1\). Então \(Y+c_1=11\).

Daí \(Y=11-c_1\). Como \(Y\le 9\), obrigatoriamente \(c_1\ge 2\), logo \(c_1=2\) e \(Y=9\). Voltando às unidades: \(2X+9\) tem resto \(1\), isto é \(2X+9\equiv1\pmod{10}\), então \(2X\equiv2\pmod{10}\). Como \(c_1=2\) exige \(2X+9\ge 20\), tem-se \(X\ge6\). A solução compatível é \(X=6\).