Questão FC572370
Em um grupo de 60 pessoas, cada uma usa uma pulseira em cada braço, que podem ter a mesma cor ou não, escolhidas entre verde, azul ou preta. Cada uma das 120 pulseiras tem uma únic
Equações
FCC · 2019
Em um grupo de 60 pessoas, cada uma usa uma pulseira em cada braço, que podem ter a mesma cor ou não, escolhidas entre verde, azul ou preta. Cada uma das 120 pulseiras tem uma única cor, e sabe-se que quem usa uma pulseira preta não pode usar a outra azul, e ninguém usa pulseira azul nos dois braços. Sabe-se ainda que no total são usadas 55 pulseiras pretas e o número total de pulseiras verdes usadas excede em 15 o número total de pulseiras azuis usadas. Nessas condições, o número mínimo de pessoas que usam pulseira preta nos dois braços é
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- 7.
- 14.
- 20.
- 27.
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Gabarito
D
Comentário do professor
Denotemos as cores por P (preta), V (verde) e A (azul). Pelas restrições só restam os tipos de uso: PP, PV, VV e VA.
Sejam \(a,b,c,d\) as quantidades de pessoas em cada caso correspondente a PP, PV, VV e VA. As pulseiras pretas totalizam \(2a+b=55\), logo \(b=55-2a\).
Pulseiras verdes somam \(b+2c+d\) e azuis são apenas \(d\). Como verdes excedem azuis em 15: \(b+2c+d=d+15\). Substituindo \(b\) obtemos \(55-2a+2c=15\), isto é \(c=a-20\).
Do total de 120 pulseiras, verdes+azuis = \(120-55=65\). Como verdes = azuis+15, temos \(2d+15=65\), daí \(d=25\).
Como \(c=a-20\ge 0\), segue \(a\ge 20\). O menor valor inteiro possível é \(a=20\). Assim há 20 pessoas com PP, resposta: 20.
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